一、数项级数
1、性质
- n=1∑∞un收敛⇔n→∞limSn存在(充要条件)
- n=1∑∞un收敛⇒n→∞limun=0(必要条件)
- 收敛,可以不看前有限项,因为前有限项是常数
2、正项级数(每一项都是正数)
-
Sn有界⇔n=1∑∞un
-
比较判别法:对于n≥M时,有un≤vn,
- n=1∑∞vn收敛⇒n=1∑∞un收敛
- n=1∑∞un发散⇒n=1∑∞vn发散
-
极限比较判别法:a=n→∞limvnun
- a=0:un≤vn(剩下的看上一点)
- a=∞:un≥vn(剩下的看上一点)
- a=A=0:un,vn同敛散
那么,如何选取另一个来比较呢?
- 等比级数:n=1∑∞aqn−1{=1−qa,发散,∣q∣<1∣q∣≥1
p
级数:n=1∑∞np1{收敛,发散,p>1p≤1
- 广义
p
级数:n=2∑∞n(lnn)p1{收敛,发散,p>1p≤1
- 交错
p
级数:n=1∑∞(−1)n−1np1{绝对收敛,条件收敛,p>10<p≤1
下面开始,都是跟自己比较:
-
比值判别法(达朗贝尔)
n→∞limunun+1=ρ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧<1,>1,=1,收敛发散失效
-
根值判别法(柯西)
n→∞limnun=ρ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧<1,>1,=1,收敛发散失效
-
积分判别法(柯西)
f(x)≥0,连续,x∈[1,+∞],un=f(n)
n=1∑∞un与∫1+∞f(x)dx敛散性相同
交错级数
n=1∑∞(−1)n−1un,un>0
- 莱布尼茨判别法:{n→∞limun=0,un≥un+1(un单调不增)⇒级数收敛
任意级数
n=1∑∞un,un无符号限制
- n=1∑∞∣un∣收敛⇒n=1∑∞un绝对收敛
- n=1∑∞∣un∣发散,n=1∑∞un收敛⇒n=1∑∞un条件收敛
二、幂级数
1、性质
幂级数定义
n=1∑∞un(x)=n=1∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)1+a2(x−x0)2+...+an(x−xn)n+...
收敛域与收敛点
若x∈I,有n=1∑∞un(x0)收敛,则x0为其收敛点;如果发散,就称为发散点。
收敛点的集合称为收敛域
收敛半径,收敛区间和收敛域
- 收敛半径:R
- 收敛区间:−R<(x−x0)<R⇒x0−R<x<x0+R
- 收敛域:考虑端点是否能够取得
2、具体问题
记录一个知识点,级数缺项:有的项其系数为0(如奇数项级数或者偶数项级)。
3、抽象问题
假如没有告诉你的级数的具体形式,而是给你抽象的,那就用这个方法。
4、常用公式
至于如何求届收敛域呢?首先就是第2点中的缺项幂级数,然后就是根据定义域来。双重确定。
下面记住几个基本公式,并且推导出其扩展公式,推导的时候,抓住收敛半径不变,确定端点(用定义域)的进而确定收敛域范围。还有的情况,求导之后收敛于会变小,积分之后收敛域会变大,如ln(1+x)系。
-
ln(1+x)=n=1∑∞(−1)n−1⋅nxn,x∈(−1,1]
- ln(1−x)=−n=1∑∞nxn,x∈[−1,1)
- 1+x1=n=0∑∞(−1)n⋅xn,x∈(−1,1)
- 1−x1=n=0∑∞xn,x∈(−1,1),重点
-
arctanx=n=0∑∞(−1)n⋅2n+1x2n+1,x∈[−1,1]
-
ex=n=0∑∞n!xn,x∈(−∞,+∞)
e−x=n=0∑∞(−1)nn!xn,x∈(−∞,+∞)
2ex+e−x=n=0∑∞(2n)!x2n,x∈(−∞,+∞)
2ex−e−x=n=0∑∞(2n+1)!x2n+1,x∈(−∞,+∞)
-
sinx=n=0∑∞(−1)n⋅(2n+1)!x2n+1,x∈(−∞,+∞)
cosx=n=0∑∞(−1)n⋅(2n)!x2n,x∈(−∞,+∞)
三、傅里叶级数
1、迪利克雷收敛定律
f(x)的傅里叶级数在[−l,l]上处处收敛,其和函数为S(x)
S(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f(x),2f(x−0)+f(x+0),2f(−l+0)+f(l−0),x为连续点x为间断点x=±l
2、傅里叶公式
设周期为2l
f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a0=l1∫−llf(x)dxan=l1∫−llf(x)coslnπxdx,bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,n=1,2,...n=0,1,...
- 如果f(x)为奇函数,展开式为正弦函数,只有b
- 如果f(x)为偶函数,展开式为余弦函数,只有a
如果只要[0,l]有定义
做奇延拓或者偶延拓,即定义另一边的函数,用原函数来定义。
四、补充知识
如何处理n起点变化
-
口诀:底变大,后变小
n=0∑∞f(n)=n=1∑∞f(n−1) :也就是说,求和 ∑ 符号底部的起点变大了,后面表达式中的所有n都变成n-1了