一、数项级数

1、性质

• $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n收敛 \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}S_n存在$（充要条件）
• $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n收敛 \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$（必要条件）
• 收敛，可以不看前有限项，因为前有限项是常数

2、正项级数（每一项都是正数）

• $S_n有界 \Leftrightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty u_n$

• 比较判别法：$对于n \geq M时，有u_n \leq v_n$，

  • $\sum\limits_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty u_n收敛$
  • $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 发散 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty v_n 发散$

• 极限比较判别法：$a = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}$

  • $a = 0$：$u_n \leq v_n$（剩下的看上一点）
  • $a = \infty$：$u_n \geq v_n$（剩下的看上一点）
  • $a = A\neq 0$：$u_n,v_n同敛散$

  那么，如何选取另一个来比较呢？

  • 等比级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty aq^{n-1} \begin{cases} = \frac{a}{1-q},& \left| q \right| < 1 \\ 发散, & \left| q \right| \geq 1 \end{cases}$
  • p级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} 收敛, & p>1\\发散,&p\leq1 \end{cases}$
  • 广义p级数：$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p} \begin{cases}收敛,& p>1\\发散,& p\leq1\end{cases}$
  • 交错p级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n^p} \begin{cases}绝对收敛，& p > 1 \\ 条件收敛，& 0<p\leq1 \end{cases}$

  下面开始，都是跟自己比较：

• 比值判别法（达朗贝尔）

  $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{u^{n+1}}{u^n} = \rho \begin{cases} <1,&收敛\\>1,&发散\\=1,&失效 \end{cases}$

• 根值判别法（柯西）

  $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} = \rho \begin{cases} <1,&收敛\\>1,&发散\\=1,&失效 \end{cases}$

• 积分判别法（柯西）

  $f(x)\geq 0,连续,x\in\left[1,+\infty \right], u_n = f(n)$

  $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 与 \int_1^{+\infty}f(x)dx敛散性相同$

  • 给出反常积分的判敛，与 自己 比较（要求积分区域只有一个瑕点）

    • 口诀：大的大、小的小、才收敛

      大（积分区间是$\infty$）的大（$p>1$）

      小（积分区间是有限）的小（$0<p<1$）

    • 数学表述

      $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^p}dx\begin{cases}收敛,& p<1\\ 发散,&p\geq1 \end{cases}$

      $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \begin{cases}收敛,&p>1\\ 发散,&p\leq 1 \end{cases}$

  • 给出反常积分，与 别人 比较（要求积分区域只有一个瑕点）

    • 大的收，小的收；小的散，大的散；同收同散是常数。

      大的收敛 $\Rightarrow$ 小的收敛

      小的发散 $\Rightarrow$ 大的发散

      还有可能是两个同敛散

    • 数学表述

      $\lim\limits_{x\rightarrow 瑕点} \frac{f(x)}{g(x)} = A$

      $A=0$ ：上面的小，下面的大

      $A=\infty$：上面的大，下面的小

      $A\neq0$：上下同敛散

交错级数

$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n, u_n>0$

• 莱布尼茨判别法：$\begin{cases} \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0,\\ u_n\geq u_{n+1}(u_n单调不增) \end{cases} \Rightarrow 级数收敛$

任意级数

$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n , u_n无符号限制$

• $\sum\limits_{n=1}^\infty \left| u_n \right|收敛\Rightarrow\sum\limits_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛$
• $\sum\limits_{n=1}^\infty \left| u_n \right|发散，\sum\limits_{n=1}^\infty u_n收敛 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty u_n 条件收敛$

二、幂级数

1、性质

幂级数定义

$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0)^1 + a_2(x-x_0)^2 + ... + a_n(x-x_n)^n + ...$

收敛域与收敛点

若$x\in I$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$收敛，则$x_0$为其收敛点；如果发散，就称为发散点。

收敛点的集合称为收敛域

收敛半径，收敛区间和收敛域

• 收敛半径：$R$
• 收敛区间：$-R<(x-x_0) < R \Rightarrow x_0-R < x < x_0 + R$
• 收敛域：考虑端点是否能够取得

2、具体问题

记录一个知识点，级数缺项：有的项其系数为0（如奇数项级数或者偶数项级）。

• 不缺项幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$：

  $\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$

  $\rho = \frac{1}{\rho};\quad\rho = 0,R= +\infty;\quad \rho=+\infty,R = 0$

• 缺项幂级数（比如只有奇数项或者偶数项，直接用这个方法即可）：

  • 令 $\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|(或\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| u_n(x) \right|}) < 1$，求出收敛区间$x\in(a,b)$
  • 具体讨论端点$a,b$的值，确定收敛域

3、抽象问题

假如没有告诉你的级数的具体形式，而是给你抽象的，那就用这个方法。

• 阿贝尔定理，对于级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$，设收敛半径为$R$，在点$x_1$处有

  • 收敛，$|x_1-x_0|\leq R$
  • 发散，$|x_1-x_0|\geq R$
  • 条件收敛，$R = |x_1-x_0|$，这一条非常重要，另外两条不能确定R，这条可以

• 收敛半径不变化

  • 对级数提出或乘以$(x-x_0)^k$，或者平移。收敛半径不变化
  • 求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小
  • 积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大

4、常用公式

至于如何求届收敛域呢？首先就是第2点中的缺项幂级数，然后就是根据定义域来。双重确定。

下面记住几个基本公式，并且推导出其扩展公式，推导的时候，抓住收敛半径不变，确定端点（用定义域）的进而确定收敛域范围。还有的情况，求导之后收敛于会变小，积分之后收敛域会变大，如$\ln(1+x)$系。

• $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n},\quad x\in(-1,1]$

  • $\ln(1-x) = -\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},\quad x\in[-1,1)$
  • $\frac{1}{1+x} = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\cdot x^n,\quad x\in(-1,1)$
  • $\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n,\quad x\in(-1,1)$，重点

• $\arctan x = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x\in[-1,1]$

• $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\quad x\in(-\infty, +\infty)$

  $e^{-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n!},\quad x\in(-\infty, +\infty)$

  $\frac{e^x+e^{-x}}{2} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in(-\infty, +\infty)$

  $\frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in(-\infty, +\infty)$

• $\sin x = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in(-\infty,+\infty)$

  $\cos x = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in(-\infty,+\infty)$

三、傅里叶级数

1、迪利克雷收敛定律

$f(x)$的傅里叶级数在$[-l,l]$上处处收敛，其和函数为$S(x)$

$S(x) = \begin{cases} f(x),&x为连续点\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},&x为间断点\\\frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2},&x=\pm l \end{cases}$

2、傅里叶公式

设周期为$2l$

$f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right)$

$\begin{cases}a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x) dx \\ a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx,&n=1,2,... \\ b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx,&n=0,1,... \end{cases}$

• 如果$f(x)$为奇函数，展开式为正弦函数，只有$b$
• 如果$f(x)$为偶函数，展开式为余弦函数，只有$a$

如果只要$[0,l]$有定义

做奇延拓或者偶延拓，即定义另一边的函数，用原函数来定义。

四、补充知识

如何处理n起点变化

• 口诀：底变大，后变小

  $\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n-1)$ ：也就是说，求和 $\sum$ 符号底部的起点变大了，后面表达式中的所有n都变成n-1了