空间曲线与切线

注意，说的是空间，那就涉及到三个变量。

（1）参数方程

$\begin{cases}x= x(t),\\y=y(t),\\z=z(t), \end{cases} t \in I$

在点$p(x_0,y_0,z_0),(即t = t_0)$处的切向量$\boldsymbol{\tau} = (x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$

切线方程：$\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$

法平面方程：$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$

（2）用方程组给出

$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{cases}$

当$\frac{\partial (F,G)}{\partial(y,z)} \neq 0\quad \Rightarrow\quad \begin{cases}x=x,\\y=y(x),\\z=z(x), \end{cases}$ 其中$\frac{\partial (F,G)}{\partial(y,z)} =\left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \\ \frac{\partial G}{\partial y} &\frac{\partial G}{\partial z} \end{array} \right|$

在$P(x_0,y_0,z_0)$处切向量：$\boldsymbol{\tau} = (1,y'(x_0),z'(x_0))$

切线方程：$\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{y'(x_0)} = \frac{z-z_0}{z'(x_0)}$

法平面方程：$(x-x_0)+y'(x_0)(y-y_0)+z'(x_0)(z-z_0)=0$

空间曲面与法线

（1）隐式方程

$F(x,y,z) = 0$

在点$P(x_0,y_0,z_0)$处法向量：$\boldsymbol{n} = \left(F'_{x}|_{P_0}, F'_{y}|_{P_0}, F'_{z}|_{P_0} \right)$

切平面方程：$F'_{x}|_{P_0}\cdot(x-x_0) + F'_{y}|_{P_0}\cdot (y-y_0) + F'_{z}|_{P_0} \cdot (z-z_0) = 0$

法线方程：$\frac{x-x_0}{F'_{x}|_{P_0}} = \frac{y-y_0}{F'_{y}|_{P_0}} = \frac{z-z_0}{F'_{z}|_{P_0}}$

（2）显式函数

$z = f(x,y)\quad \Rightarrow \quad F(x,y,z) = f(x,y)-z = 0$

在点$P(x_0,y_0,z_0)$处法向量：$\boldsymbol{n} = \left(f'_{x}(x_0,y_0), f'_{y}(x_0,y_0), -1 \right)$

切平面方程：$f'_{x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f'_{y}(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) - (z-z_0) = 0$

法线方程：$\frac{x-x_0}{f'_{x}(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{f'_{y}(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$

（3）参数方程

$\begin{cases} x = x(u,v)\\y = y(u,v)\\z=z(u,v) \end{cases}$

当$u = u_0,v=v_0$时，有点$P(x_0,y_0,z_0)$

固定$v=v_0 \Rightarrow u在P$的切向量：$\boldsymbol{\tau_1} = (x'_u, y'_u, z'_u)|_{P_0}$

固定$u=u_0 \Rightarrow v在P$的切向量：$\boldsymbol{\tau_2} = (x'_v, y'_v, z'_v)|_{P_0}$

曲面的法向量垂直于$\boldsymbol{\tau_1}、\boldsymbol{\tau_2} \Rightarrow \boldsymbol{n} = \boldsymbol{\tau_1} \times \boldsymbol{\tau_2} = \left| \begin{array}{cccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ x'_u& y'_u& z'_u \\ x'_v& y'_v& z'_v \end{array} \right|_{P_0} = (A,B,C)$

切平面方程：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C (z-z_0) = 0$

法线方程：$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$

总结空间曲面与空间曲线

• 抓住曲面的法向量与曲线的切向量

曲线的投影

$\Gamma = \begin{cases}F(x,y,z) = 0\\G(x,y,z) = 0 \end{cases}$消去z即可得到在xOy的投影$\begin{cases}\phi(x,y) = 0\\ z= 0 \end{cases}$

曲线的旋转(P358)

1、绕坐标轴旋转

绕谁转，谁不动，另一个变成其和第三个的平方和开根号：$\sqrt{另^2 + 三^2}$

具体来说：$$

2、绕一般直线旋转

曲线：$\Gamma = \begin{cases}F(x,y,z) = 0\\G(x,y,z) = 0 \end{cases}$，直线：$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$

向量的运算

• 三向量共面：$[\boldsymbol{abc}] = (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = \Leftrightarrow \left| \begin{array}{ccc} a_x & a_y &a_z\\b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{array} \right| = 0$

直线与平面关系（P359）

平面束方程

 假设平面1、2方程：$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases},\quad 其中A_1,B_1,C_1与A_2,B_2,C_2$不成比例。设L为两个平面的交线，则过该交线的平面束方程设为：$\mu (A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0,\quad \mu,\lambda$为参数。

 除此之外，对于具体题目，如果说过该交线的平面，但是不是平面1（2）的方程，那么就将上述的$\mu$（$\lambda$）设置为1。

点到平面的距离

点$P(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D = 0$的距离$d = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

直线、平面之间的关系

 抓住直线的切向量与平面的法向量，那么问题就迎刃而解了。

场论初步

方向导数（值）

 设函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的领域内有定义，那么$u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的方向导数的定义应该是：

$\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}|_{P_0} = \lim\limits_{t\to 0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{t}= \lim\limits_{t\to 0^+}\frac{u'_x(P_0)\Delta x + u'_y(P_0)\Delta y+u'(P_0)\Delta z }{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} \\= u'_x(P_0)\cos \alpha + u'_y(P_0)\cos\beta +u'(P_0)\cos\gamma \\= (u'_x(P_0), u'_y(P_0),u'(P_0))\cdot (\cos \alpha,\cos\beta ,\cos\gamma )$

其中，$t = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}, \quad \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$为方向余弦。

梯度（向量）

$\boldsymbol{grad} \quad u|_{p_0} = (u'_x(P_0) , u'_y(P_0), u'_z(P_0))$

当梯度与方向$l$同向时，方向导数最大，方向导数为梯度的模：$\left| \boldsymbol{grad} \quad u|_{p_0} \right| = \sqrt{[u'_x(P_0)]^2 + [u'_y(P_0)]^2+ [u'_z(P_0)]^2}$

散度（值）

设向量场$\boldsymbol{A}(x,y,z) = P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k}$

则散度定义为：$div \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$，散度为0的场叫做无源场。

旋度（向量）

设向量场$\boldsymbol{A}(x,y,z) = P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k}$

则旋度为：$\boldsymbol{rot\quad A} = \left |\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} &\boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R \\ \end{array}\right|$，若旋度为0向量的场叫做无旋场。