二重积分

1、意义：

• 表示曲顶柱体的体积
• 表示面密度为$f(x,y)$的平面的面质量

2、计算

和式极限

$\iint \limits_{D} f(x,y) d\sigma = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^n f(a + \frac{b-a}{n} i, c + \frac{d-c}{n}j) \cdot \frac{b-a}{n} \cdot \frac{d-c}{n}$

顺便补充一下一重积分的和式极限

$$\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac{b-a}{n}f\left(\frac{i(b-a)}{n}\right)$$

对称性计算

积分区域关于x对称，就看积分函数是否关于y对称

轮换对称性

积分区域关于 $y = x$ 对称，就具有轮换对称性 $I = \iint \limits_D f(x,y)dxdy = \iint \limits_D f(x,y) dx dy$

二重积分比大小

• 对称性
• 保号性
• 画图

3、两大坐标系计算

（1）直角坐标系

（2） 极坐标系

三重积分

对称性计算

 积分区域沿着x轴（关于yOz面）对称，那么积分函数就看为x的奇函数还是偶函数

直角坐标系

$$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z) dv = \\ \int_a^bdz\iint\limits_{D_z} f(x,y,z)d\sigma = \\ \iint\limits_{D_{xy}}d\sigma \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz$$

柱坐标系

$$\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases}\\ \\ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z) dv = \iiint\limits_\Omega f(r\cos\theta, r\sin\theta,z)rdrd\theta dz$$

球坐标系

$$\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta \\ y = r\sin\varphi\sin\theta \\ z= r\cos\varphi \end{cases}\\ \\ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z) dv = \iiint\limits_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta$$

换元法

$$\begin{cases} x = x(u,v,w) \\ y = y(u,v,w) \\ z= z(u,v,w) \end{cases}\\ \iiint\limits_{\Omega_{xyz}} f(x,y,z) dxdydz =\\ \iiint\limits_{\Omega_{uvw}} f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)] \left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| dudvdw \\ 注意这里的“|”是绝对值，里面的分式才是行列式$$

第一型曲线积分

1、二重直接计算

$$(1) \int_L f(x,y) ds = \int_a^b f[x, y(x)] \sqrt{1+(y'_x)^2}dx\\ (2)\int_L f(x,y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f[x(t), y(t)] \sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}dt \\ (3)\int_L f(x,y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f[r(\theta)cos\theta, r(\theta)sin\theta]\sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2}$$

2、看对称性

 积分区域沿着x轴对称，看积分函数关于x是奇函数还是偶函数

第一型曲面积分

1、直接计算

$\iint \limits_{\Sigma} f(x,y,z) dS = \iint \limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z'_x)^2+(z_y')^2}dxdy$

 值得注意的是：$D_{xy}$ 为 $\Sigma$ 在xOy面的投影，$\Sigma$ 上可能回出现两点投影到一个 $(x,y)$ 的情况，因此，这个时候需要用对称性消除。也就是说，一个$(x,y)$ 只能对应 $\Sigma$ 上唯一的点。

2、对称性

 积分区域沿着x轴对称，看积分函数关于x是奇函数还是偶函数

第二型曲线积分

1、直接计算

不要小看这个方法，建议最先用这个方法

$\int_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \int_\alpha^\beta \{P[x(t),y(t)]x'(t) + Q[x(t),y(t)]y'(t)\}$

$\int_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \int_\alpha^\beta \{ P[x(t),y(t),z(t)]x'(t) + Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t) + R[x(t), y(t),z(t)]z'(t) \} dt$

2、格林公式

$\oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d \sigma$

• 曲线封闭

  • 内部有奇点

    在内部使用一个小圆圈消除它

  • 内部无奇点

    直接使用格林公式

• 曲线不封闭

  • 如果积分与路径无关

    换条路经，见第3点

  • 如果积分与路径有关

    补线，用格林公式（注意：补线所经之处，躲避奇点）

3、积分与路径无关

下面四个问题等价

• $\int_{L_{AB}} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$与路径无关
• $Pdx + Qdy$为某二元函数$u(x,y)$的全微分
• $Pdx+Qdy=0$为全微分方程
• $P\boldsymbol{i} + Q\boldsymbol{j}$为某二元函数$u(x,y)$的梯度
• 沿D内任意分段光滑闭曲线L都有$\oint_L Pdx + Qdy = 0$
• $\frac{\partial P}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$处处成立

三重积分上路径无关

• $\boldsymbol{rot F} = 0$ 积分与路径无关

4、两类曲线积分联系

$\int_L P dx + Qdy = \int_L(Pcos\alpha + Qsin\alpha)ds\\ (cos\alpha , sin \alpha) 为L在点(x,y)与L同向的切向量$

5、斯托克公式

将空间第二型曲线积分化成第二型曲面积分或者第一型曲面积分

$$\oint\limits_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz = \\ \iint\limits_\Sigma \left |\begin{array}{ccc} dydz &dzdx &dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R \\ \end{array}\right| (第二型曲面积分)\\ \iint \limits_\Sigma \left |\begin{array}{ccc} cos\alpha &cos\beta &cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R \\ \end{array}\right| dS (第一型曲面积分)$$

$\oint_L \vec{F} = \iint_\Sigma rot\vec{F} dS$

第二型曲面积分

1、直接计算

不要小看第1、2方法，建议最先用这两个方法看看

$\iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy = \pm \iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy$

其余同理，当$\Sigma$与$z$轴成锐角取+，成钝角取-

2、转换投影法

如果$\Sigma$上任意两点到$xOy$平面不重合

$$F(x,y,z) = z-z(x,y)\\ (Pdydz,Qdzdx,Rdxdy)\cdot (F_x^{'},F_y^{'},F_x^{'}) =\\ (Pdydz,Qdzdx,Rdxdy)\cdot (-z_x^{'},-z_y^{'},1) =\\ \left[P\cdot(-z_x^{'})+Q\cdot(-z_y^{'})+R\cdot(1)\right]dxdy\\ \quad\\\quad \\ \iint_\Sigma P(x,yz)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy = \\ \pm \iint\limits_{D{xy}}\{p[x,y,z(x,y)](-\frac{\partial z}{\partial x}) + Q[x,y,z(x,y)](-\frac{\partial z}{\partial y}) + R[x,y,z(x,y)] \}dxdy$$

其中正、负的取值与，曲面法向量跟z轴之间成锐、钝角有关

3、高斯公式

$$\oiint \limits_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \\ \iiint \limits_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dv$$

• 曲面封闭

  • 内部无奇点：直接高斯公式
  • 内部有奇点：用一个封闭曲面将奇点圈出来

• 曲面不封闭

  • $div \boldsymbol{F} = 0$：换个面积分
  • $div \boldsymbol{F} \neq 0$：补面使其封闭