一般公式

 一般来说，给定你$X,Y$的分布，并且不一定两者是独立的，然后给你$Z$关于$X,Y$的函数，那么要你求解$f_Z(z)$。

假设我们把$Y$表示为$X,Z$的函数，那么有卷积公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac{\partial y}{\partial z}\right|f(x,z-x)dx \overset{独立}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac{\partial y}{\partial z}\right|f_X(x)\cdot f_Y(z-x)dx$$

重要的是判别$x$的范围。

 那么如何判别x的范围呢？

 我们不是得到$Y=y(Z)$，然后，根据题设要求的$X,Y$取值范围有，$y_2(x)\leq Y\leq y_1(x) \Rightarrow y_2(x)\leq y(Z)\leq y_1(x)$之后再反解出$x$的范围。并且最好能够画出Z与X的图像，并沿着X轴看，对Z轴进行分段。

分布函数法

 这个不是用卷积法求解，但是也是不可忽视的，所以在这记录。

$(X,Y)\sim f(x,y), \quad Z=g(X,Y)$，则：

$$F_Z(z) = P\left\{ g(X,Y)\leq z \right\} = \iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy\\ \\ \quad f_Z(z) = F'_Z(z)$$

暴力求导法

 补充一下余炳森老师的暴力求导法：

$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) dy = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f_x'(x,y) dy + f[x,\beta(x)]\beta'(x) - f[x,\alpha(x)]\alpha'(x)$$