一般公式
一般来说,给定你X,Y的分布,并且不一定两者是独立的,然后给你Z关于X,Y的函数,那么要你求解fZ(z)。
假设我们把Y表示为X,Z的函数,那么有卷积公式:
fZ(z)=∫−∞+∞∣∣∣∣∣∂z∂y∣∣∣∣∣f(x,z−x)dx=独立∫−∞+∞∣∣∣∣∣∂z∂y∣∣∣∣∣fX(x)⋅fY(z−x)dx
重要的是判别x的范围。
那么如何判别x的范围呢?
我们不是得到Y=y(Z),然后,根据题设要求的X,Y取值范围有,y2(x)≤Y≤y1(x)⇒y2(x)≤y(Z)≤y1(x)之后再反解出x的范围。并且最好能够画出Z与X的图像,并沿着X轴看,对Z轴进行分段。
分布函数法
这个不是用卷积法求解,但是也是不可忽视的,所以在这记录。
(X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y),则:
FZ(z)=P{g(X,Y)≤z}=g(x,y)≤z∬f(x,y)dxdyfZ(z)=FZ′(z)
暴力求导法
补充一下余炳森老师的暴力求导法:
∫α(x)β(x)f(x,y)dy=∫α(x)β(x)fx′(x,y)dy+f[x,β(x)]β′(x)−f[x,α(x)]α′(x)