参数估计

• 矩估计

  • 令$EX=\overline{X}$
  • 令$EX^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$

• 最大似然估计，设 $x_1,x_2,...,x_n$ 为观测样本值（题目没设需要自己设）

  似然函数：$L(p) = \prod\limits_{i=1}^nP\left\{X_i=x_i\right\}$

  使得似然函数取得最大值的p就是最大似然估计

• 估计量评价

  • 无偏性：如果是无偏，则$E\hat{p} = p$
  • 有效性：如果有两个估计量，则方差更小的更有效
  • 相合性（一致性）：估计量依概率收敛于p $\forall \epsilon > 0$ 均有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\left\{\left|\hat{p} - p \right|\geq \epsilon\right\} = 0$

前置知识

 首先，我们应该在前面看到过这几个公式：

$$X_1,X_2,\cdots,X_n来自正态分布N(\mu,\sigma^2)的样本，有：\\ (1)\quad 样本均值与方差独立\\ (2)\quad \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)\qquad Z_{\alpha} \\ (3)\quad \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1) \qquad t_{\alpha} \\ (4)\quad \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)\quad\chi_\alpha\\ (5)\quad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)\quad \chi_\alpha$$

 其次是，上分位点定义 ，如果 $P(X>\mu_\alpha) = \alpha$ ，$\mu_\alpha$ 称为上分位点

 然后是：样本与整体，样本是 已知 的，其是变量，整体是 未知 的，其是常量。

 最后是，不管是区间估计还是假设检验，都是用已知的来推算位置的。

区间估计

基本概念

• 区间估计：样本 直接 计算 出 整体 的取值范围
• 取值范围内的叫做 置信区间，概率称为 置信度 （开区间）
• 取到范围外的叫做 非置信区间 （闭区间）

具体情况

 假设置信度为 $1-\alpha$

• 通用方法：

  找到一个变量 M，为 $X_i、\mu、\overline{X}、\sigma、S^2$ 量的组合，使其服从$m$ 分布

  上面的 m 分布可以是：$N(0,1)\rightarrow z、\chi^2\rightarrow \chi^2、t\rightarrow t、F\rightarrow F$ 这四种分布，一般看题目给了哪些数据，八九不离十

  $P\left\{M>m_{\alpha/2}\right\} = \alpha/2$ 代入运算，得到 $P\left\{-m_{\alpha/2}<M<m_{\alpha/2}\right\} = 1-\alpha$ 就能得到结果了

  那么置信区间 ：概率为$1-\alpha$ 的区间，即 $-m_{\alpha/2}<M<m_{\alpha/2}$ 解出你的估计的值即可

• 样本方差 已知

$$P\left\{ \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma} > Z_{\alpha/2}(n) \right\} = \alpha/2 \\ P\left\{ \overline{X} - \frac{\sigma Z_{\alpha/2}(n)}{\sqrt{n}} <\mu<\overline{X} + \frac{\sigma Z_{\alpha/2}(n)}{\sqrt{n}} \right\} = 1-\alpha$$

• 样本方差 未知

$$P\left\{ \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} > t_{\alpha/2}(n-1) \right\} = \alpha/2 \\ P\left\{ \overline{X} - \frac{S t_{\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}} <\mu<\overline{X} + \frac{S t_{\alpha/2}(n-1)}{\sqrt{n}} \right\} = 1-\alpha$$

假设检验

基本概念

• 假设检验：用 样本 来检验 猜测的整体 ，接受或者拒绝
• 接收域：能够接受的区间（开区间）
• 拒绝域：不能够接受的区间（闭区间）
• 拒绝的概率：称为 显著性水平 ，同样，这个也等于 弃真 的概率

具体情况

 假设显著性水平为 $\alpha$

• 单 正太整体通用方法

  找到一个变量 M，为 $X_i、\mu、\overline{X}、\sigma、S^2$ 量的组合，使其服从$m$ 分布

  上面的 m 分布可以是：$N(0,1)\rightarrow z、\chi^2\rightarrow \chi^2、t\rightarrow t、F\rightarrow F$ 这四种分布，一般看题目给了哪些数据，八九不离十

  双边检验 ：$P\left\{M>m_{\alpha/2}\right\} = \alpha/2$ 代入运算，得到 $P\left\{-m_{\alpha/2}<M<m_{\alpha/2}\right\} = 1-\alpha$

  单边检验 ：$P\left\{M>m_{\alpha}\right\} = \alpha$ 代入运算，得出 $P\left\{M\leq m_{\alpha}\right\} = 1 - \alpha$

  接收域 ：概率为$1-\alpha$ 的区间，即 $-m_{\alpha/2} < M < m_{\alpha/2}$ 或者 $M>m_{\alpha}$ 解出你要估计的值即可

• 双 正太整体通用方法（考的概率几乎为0）

  与单正太整体几乎相同，也是找到一个M，让其是两个变量的量组合，服从 m 分布，后面都是一样的

  $S_{\overline{\omega}}^2 = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S^2}{n_1+n_2-2}}$

  $\sigma_1=\sigma_2时，\quad T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_{\overline{\omega}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$

  $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

就不举例情况了

两类错误

• 第一类错误：弃真

  $\alpha = P\left\{ 拒绝H_0 | H_0为真\right\}$

  也就是显著性水平

• 第二类错误：取伪

  $\beta = P\left\{接受H_0|H_0为假\right\}$