泰勒公式

一阶泰勒公式

$$f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + R_{n}(x)\quad 称为皮亚诺余项\\ R_n(x) = O(x-x_0)^n \quad 称为麦克劳林公式$$

泰勒中值定理

$$f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\quad \xi介于x与x_0之间$$

二阶泰勒公式

$$f(x,y) = f(x_0,y_0) + (f'_x, f'_y)|_{(x_0,y_0)}\left(\begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right) + \frac{1}{2!}\left(\begin{matrix} \Delta x & \Delta y \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} f_{xx}^{''} & f_{xy}^{''} \\ f_{yx}^{''} & f_{yy}^{''} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right) + R_2 \\ 其中：\Delta x = (x-x_0), \quad \Delta y = (y-y_0) \quad 记得代入$$

中值定理

• 零点定理
• 罗马定理
• 介值定理
• 拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}= f^{'}(\xi)$
• 柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}$

凹凸性

$$\lambda_1 + \lambda_2 = 1, 0<\lambda_1, \lambda_2<1 \\ \lambda_1 F(x_1) + \lambda_2 F(x_2) \geq F(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \quad 凹\\ \lambda_1 F(x_1) + \lambda_2 F(x_2) \leq F(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \quad 凸$$

• 分与合：大凹小凸

构造辅助函数

• $\ln{f(x)} \rightarrow \frac{f^{'}(x)}{f(x)} \rightarrow \frac{f^{''}(x)f(x)-[f^{'}(x)]^2}{f^2(x)}\rightarrow f^{''}(x)f(x)-[f^{'}(x)]^2$
• $\frac{f(x)}{x}\quad \frac{x}{f(x)}\quad e^{f(x)}$
• $f(x)e^{g(x)}\rightarrow f^{'}(x) + f(x)g^{'}(x)$

曲率

$K=\frac{|y^{''}|}{[1+(y^{'})^2]^{\frac{3}{2}}}$，曲率半径为：$R=\frac{1}{K}$

积分定理

• 柯西积分不等式：$\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right) ^ 2 \leq \int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$
• 积分不等式：$f(x)\leq g(x)\rightarrow \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx,a<b$
• $f,g连续，g不变号, \int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx$ 介值定理证明
• $\iint\limits_D f(x,y) d\sigma = f(\xi,\eta)\sigma$，$\sigma$ 为 D 的面积

如何做题

• 一阶导：用拉格朗日中值定理
• 二阶导：如果题目明确的给你分段了，那就拉格朗日中值定理，否则泰勒中值定理
• 高阶导：泰勒中值定理