考研数学

考研数学之中值定理

泰勒公式

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + R_{n}(x)\quad 称为皮亚诺余项\\ R_n(x) = O(x-x_0)^n \quad 称为麦克劳林公式

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\quad \xi介于x与x_0之间

f(x,y) = f(x_0,y_0) + (f'_x, f'_y)|_{(x_0,y_0)}\left(\begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right) + \frac{1}{2!}\left(\begin{matrix} \Delta x & \Delta y \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} f_{xx}^{''} & f_{xy}^{''} \\ f_{yx}^{''} & f_{yy}^{''} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right) + R_2 \\ 其中：\Delta x = (x-x_0), \quad \Delta y = (y-y_0) \quad 记得代入

\lambda_1 + \lambda_2 = 1, 0<\lambda_1, \lambda_2<1 \\ \lambda_1 F(x_1) + \lambda_2 F(x_2) \geq F(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \quad 凹\\ \lambda_1 F(x_1) + \lambda_2 F(x_2) \leq F(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \quad 凸

$\ln{f(x)} \rightarrow \frac{f^{'}(x)}{f(x)} \rightarrow \frac{f^{''}(x)f(x)-[f^{'}(x)]^2}{f^2(x)}\rightarrow f^{''}(x)f(x)-[f^{'}(x)]^2$
$\frac{f(x)}{x}\quad \frac{x}{f(x)}\quad e^{f(x)}$
$f(x)e^{g(x)}\rightarrow f^{'}(x) + f(x)g^{'}(x)$

$K=\frac{|y^{''}|}{[1+(y^{'})^2]^{\frac{3}{2}}}$ ，曲率半径为： $R=\frac{1}{K}$

柯西积分不等式： $\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right) ^ 2 \leq \int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$
积分不等式： $f(x)\leq g(x)\rightarrow \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx,a<b$
$f,g连续，g不变号, \int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx$ 介值定理证明
$\iint\limits_D f(x,y) d\sigma = f(\xi,\eta)\sigma$ ， $\sigma$ 为 D 的面积

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2022-11-18

2024-12-03

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