前言
本文仅仅作为考试复习用，涉及知识较为浅显，若有不懂的符号，请看符号记法
线代基础
线性空间
定义
设V V V F F F V ( F ) V(F) V ( F ) V F V_F V F 线性运算 就是线性空间了：
注： 集合，数域，元素，向量 这几个概念。请看符号记法
子空间
若V ( F ) V(F) V ( F ) W ⊂ V W\subset V W ⊂ V V V V W W W W ≤ V W\leq V W ≤ V
W ≤ V ⇔ ∀ α , β ∈ W , α + β ∈ W ; a n d ∀ α ∈ W , ∀ k ∈ F , k α ∈ W ⇔ ∀ k , l ∈ F , ∀ α β ∈ W , k α + l β ∈ W W\leq V\Leftrightarrow \\ \forall \alpha,\beta\in W,\alpha+\beta\in W;\quad and\quad \forall \alpha\in W,\forall k\in F,k\alpha\in W\Leftrightarrow\\
\forall k,l\in F,\forall \alpha\beta\in W,k\alpha+l\beta\in W
W ≤ V ⇔ ∀ α , β ∈ W , α + β ∈ W ; a n d ∀ α ∈ W , ∀ k ∈ F , k α ∈ W ⇔ ∀ k , l ∈ F , ∀ α β ∈ W , k α + l β ∈ W
生成元与生成系：若 W = { ∑ i = 1 k x i α i ∣ ∀ x i ∈ F } W=\left\{\sum\limits_{i=1}^{k}x_i\alpha_i\Big|\forall x_i\in F\right\} W = { i = 1 ∑ k x i α i ∣ ∣ ∣ ∣ ∀ x i ∈ F } W W W { α i } 1 k \left\{\alpha_i\right\}_1^k { α i } 1 k W = L [ α 1 , α 2 , … , α k ] = s p a n α 1 , α 2 , … , α k W=L\left[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\right]=\mathrm{span}{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k} W = L [ α 1 , α 2 , … , α k ] = s p a n α 1 , α 2 , … , α k { α i } 1 k \left\{\alpha_i\right\}_1^k { α i } 1 k 生成系 ，α i \alpha_i α i 生成元 。
基、维数
线性空间 V V V n n n α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n
称 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n 基 ；
称 n n n 维数 ，记为 dim V = n \dim V=n dim V = n
特别的，零子空间的维数为0；
基扩充
若 W ≤ V , dim V = n W\leq V,\dim V=n W ≤ V , dim V = n α 1 , α 2 , … , α r \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r α 1 , α 2 , … , α r W W W V V V α 1 , α 2 , … , α r , α r + 1 , α r + 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α r , α r + 1 , α r + 2 , … , α n
坐标向量
设 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n V ( dim V = n ) V(\dim V=n) V ( dim V = n ) ξ = ∑ i = 1 n x i α i ∈ V \xi=\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i\in V ξ = i = 1 ∑ n x i α i ∈ V ( x 1 , x 2 , … , x i ) (x_1,x_2,\dots,x_i) ( x 1 , x 2 , … , x i ) 坐标 ，列向量 ( x 1 , x 2 , … , x i ) T (x_1,x_2,\dots,x_i)^T ( x 1 , x 2 , … , x i ) T 坐标向量 。
过渡矩阵：若 ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) P (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) P P P P { α i } 1 n \left\{\alpha_i\right\}_1^n { α i } 1 n { β i } 1 n \left\{\beta_i\right\}_1^n { β i } 1 n
交与和
定义
设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V 1 , V 2 V V V
和： V 1 + V 2 = { α 1 + α 2 ∣ ∀ α 1 ∈ V 1 , ∀ α 2 ∈ V 2 } 交： V 1 ∩ V 2 = { α ∈ V ∣ α ∈ V 1 且 α ∈ V 2 } 和：V_1 + V_2=\left\{ \alpha_1+\alpha_2\big| \forall\alpha_1\in V_1,\forall\alpha_2\in V_2 \right\}\\
交：V_1\cap V_2=\{\alpha\in V\big|\alpha\in V_1 且\alpha\in V_2\}
和 ： V 1 + V 2 = { α 1 + α 2 ∣ ∣ ∣ ∀ α 1 ∈ V 1 , ∀ α 2 ∈ V 2 } 交 ： V 1 ∩ V 2 = { α ∈ V ∣ ∣ ∣ α ∈ V 1 且 α ∈ V 2 }
且和与交都是 V V V
维数定理：dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) + dim ( V 1 ∩ V 2 ) \dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2) dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) + dim ( V 1 ∩ V 2 )
直和定义
设V 1 , V 2 ≤ V ∀ α ∈ V 1 + V 2 , ∃ V_1,V_2\leq V\quad\forall \alpha\in V_1+V_2, \exist V 1 , V 2 ≤ V ∀ α ∈ V 1 + V 2 , ∃ α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 \alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2 α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 α = α 1 + α 2 \alpha=\alpha_1+\alpha_2 α = α 1 + α 2 V 1 + V 2 V_1+V_2 V 1 + V 2 V 1 ⊕ V 2 V_1\oplus V_2 V 1 ⊕ V 2
以下命题等价：
V 1 + V 2 V_1+V_2 V 1 + V 2 θ \theta θ V 1 ∩ V 2 = { θ } V_1\cap V_2=\{\theta\} V 1 ∩ V 2 = { θ } dim ( V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 \dim(V_1+V_2)=\dim V_1 + \dim V_2 dim ( V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 将V 1 , V 2 V_1,V_2 V 1 , V 2 V 1 + V 2 V_1+V_2 V 1 + V 2
线性映射
定义
S → f T S\xrightarrow{f}T S f T f f f s ∈ S , t = f ( s ) s\in S,t=f(s) s ∈ S , t = f ( s ) s s s 原象 ， t t t 象 。
满射：f ( S ) = T f(S)=T f ( S ) = T T T T
单射：一个象只对应一个原象。
双射：满射加单射。
逆射：满足双摄才有逆射，相当于反函数。
线性映射：V ( F ) → f U ( F ) ; f ( k α + l β ) = k f ( α ) + l f ( β ) , ( ∀ α , β ∈ V , ∀ k , l ∈ F ) V(F)\xrightarrow{f}U(F);\quad f(k\alpha+l\beta)=kf(\alpha)+lf(\beta),\quad(\forall \alpha,\beta\in V,\forall k,l\in F) V ( F ) f U ( F ) ; f ( k α + l β ) = k f ( α ) + l f ( β ) , ( ∀ α , β ∈ V , ∀ k , l ∈ F ) f f f V V V U U U H o m ( V , U ) \mathrm{Hom}(V,U) H o m ( V , U )
线性变换：当上述 U = V U=V U = V H o m e ( V , V ) \mathrm{Home}(V,V) H o m e ( V , V )
零映射：每个 V V V 0 U \mathbf{0}_U 0 U
恒等变换：映射到本身
线性映射的矩阵
V ( F ) n → f U ( F ) s V(F)_n\xrightarrow{f}U(F)_s V ( F ) n f U ( F ) s n , s n,s n , s
V V V α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n
U U U β 1 , β 2 , … , β s \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s β 1 , β 2 , … , β s
∀ α = ∑ i = 1 n x i α i ∈ V , 有 f ( α ) = ∑ i = 1 n x i f ( α i ) ∈ W { f ( α 1 ) = a 11 β 1 + a 21 β 2 + ⋯ + a s 1 β s , f ( α 2 ) = a 12 β 1 + a 22 β 2 + ⋯ + a s 2 β s , ⋮ f ( α n ) = a 1 n β 1 + a 2 n β 2 + ⋯ + a s n β s , f ( α 1 , α 2 , … , α n ) = ( f ( α 1 ) , f ( α 2 ) , … , f ( α n ) ) = ( β 1 , β 2 , … , β s ) [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ] \forall \alpha=\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i\in V,\ 有f(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^nx_if(\alpha_i)\in W\\
\begin{cases}
f(\alpha_1)=a_{11}\beta_1+a_{21}\beta_2+\dots+a_{s1}\beta_s,\\
f(\alpha_2)=a_{12}\beta_1+a_{22}\beta_2+\dots+a_{s2}\beta_s,\\
\vdots\\
f(\alpha_n)=a_{1n}\beta_1+a_{2n}\beta_2+\dots+a_{sn}\beta_s,\\
\end{cases}\\
f(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\left(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\dots,f(\alpha_n)\right)=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s)
\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\
\end{matrix}\right]
∀ α = i = 1 ∑ n x i α i ∈ V , 有 f ( α ) = i = 1 ∑ n x i f ( α i ) ∈ W ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ f ( α 1 ) = a 1 1 β 1 + a 2 1 β 2 + ⋯ + a s 1 β s , f ( α 2 ) = a 1 2 β 1 + a 2 2 β 2 + ⋯ + a s 2 β s , ⋮ f ( α n ) = a 1 n β 1 + a 2 n β 2 + ⋯ + a s n β s , f ( α 1 , α 2 , … , α n ) = ( f ( α 1 ) , f ( α 2 ) , … , f ( α n ) ) = ( β 1 , β 2 , … , β s ) ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ a 1 1 a 2 1 ⋮ a s 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a s 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a s n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
记 A = ( a i j ) s × n A=(a_{ij})_{s\times n} A = ( a i j ) s × n f f f 基偶 { α i } 1 n \left\{\alpha_i\right\}_1^n { α i } 1 n { β i } 1 s \left\{\beta_i\right\}_1^s { β i } 1 s 矩阵 ， 特别地，U = V , β i = α i U=V,\beta_i=\alpha_i U = V , β i = α i
f ( α 1 , α 2 , … , α n ) = ( f ( α 1 ) , f ( α 2 ) , … , f ( α n ) ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] f(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\left(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\dots,f(\alpha_n)\right)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)
\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}\right]
f ( α 1 , α 2 , … , α n ) = ( f ( α 1 ) , f ( α 2 ) , … , f ( α n ) ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
若 ξ ∈ V ( α 1 , α 2 , … , α n ) , f ( ξ ) ∈ U ( β 1 , β 2 , … , β n ) \xi\in V_{(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)},f(\xi)\in U_{(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)} ξ ∈ V ( α 1 , α 2 , … , α n ) , f ( ξ ) ∈ U ( β 1 , β 2 , … , β n ) X , Y X,Y X , Y Y = A X Y=AX Y = A X A A A
设f ∈ H o m ( V , U ) f\in\mathrm{Hom}(V,U) f ∈ H o m ( V , U ) V V V ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) P (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) P W W W ( η 1 , η 2 , … , η s ) = ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ s ) Q (\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_s)=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s)Q ( η 1 , η 2 , … , η s ) = ( ξ 1 , ξ 2 , … , ξ s ) Q f f f { α i } 1 n , { ξ i } 1 s \left\{\alpha_i\right\}_1^n,\left\{\xi_i\right\}_1^s { α i } 1 n , { ξ i } 1 s A A A { β i } 1 n , { η i } 1 s \left\{\beta_i\right\}_1^n,\left\{\eta_i\right\}_1^s { β i } 1 n , { η i } 1 s B B B B = Q − 1 A P B=Q^{-1}AP B = Q − 1 A P
如果上述 U = V , ξ = α , η = β U=V,\xi=\alpha,\eta=\beta U = V , ξ = α , η = β B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P 相似 的不同定义。
不变子空间
设 f ∈ H o m ( V , V ) , W ≤ V f\in\mathrm{Hom}(V,V),W\leq V f ∈ H o m ( V , V ) , W ≤ V ∀ α ∈ W → f ( α ) ∈ W \forall\alpha\in W\rightarrow f(\alpha)\in W ∀ α ∈ W → f ( α ) ∈ W W W W V V V f f f 不变子空间 。简称为 f f f
值域和核
定义
设 f ∈ H o m e ( V , U ) f\in\mathrm{Home}(V,U) f ∈ H o m e ( V , U ) f ( V ) f(V) f ( V ) f f f 值域 ，记为 R ( f ) R(f) R ( f )
K ( f ) = { α ∣ f ( α ) = 0 U , α ∈ V } K(f)=\left\{\alpha\big|f(\alpha)=\mathbf{0}_U,\alpha\in V\right\} K ( f ) = { α ∣ ∣ ∣ f ( α ) = 0 U , α ∈ V } f f f 核 。
扩展到由于线性变换可以写成矩阵形式，记矩阵为 A A A R ( A ) = R ( f ) , K ( A ) = K ( f ) R(A)=R(f),K(A)=K(f) R ( A ) = R ( f ) , K ( A ) = K ( f )
维数定理
f ∈ H o m ( V , U ) f\in\mathrm{Hom}(V,U) f ∈ H o m ( V , U ) V V V dim R ( f ) + dim K ( f ) = dim V \dim{R(f)}+\dim{K(f)}=\dim{V} dim R ( f ) + dim K ( f ) = dim V
求基
设 A A A R ( A ) , K ( A ) R(A),K(A) R ( A ) , K ( A )
值域的基：A A A 极大线性无关组
核的基：A x = 0 Ax=0 A x = 0 基础解系
符号记法
集合，数域，元素，向量：本文中
集合一般指的是某个线性空间
数域指的是定义集合的数域，往往是 实数 或者 复数
元素指的是集合中的某个元素
向量指的是本文探讨的线性空间中的元素，因为本文主要探讨矩阵，所以，元素一般是向量
R , C R,C R , C 实数 和 复数 F n , F s × n , F [ x ] , F n [ x ] F^n,F^{s\times n},F[x],F_n[x] F n , F s × n , F [ x ] , F n [ x ] F上的 n维向量 、 s行n列的矩阵 、 多项式 、 最高次数小于n的多项式 E i j E_{ij} E i j i i i j j j
