第一节、一阶微分方程

1、可分离变量的一阶微分方程

 形如$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$的方程，称为可分离变量的微分方程。解法如下：$\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$，对两边进行积分即可。$\int{\frac{dy}{h(y)}} = \int{ g(x) dx } + C$

2、齐次一阶微分方程

 形如$\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$的形式，可令$u=\frac{y}{x}, \quad \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$，进而计算

3、一阶线性微分方程

 形如$y' + p(x)y = q(x)$的方程，可以得出通解为：$y = e^{ -\int{p(x)}dx }[\int{q(x) e^{\int{p(x)}dx}}dx + C]$，并且，如果出现绝对值的情况，可以不用考虑，直接去掉即可。

4、伯努利方程

 形如$y' + p(x)y = q(x)y^n$，将原式化为：$y^{-n}y' + p(x)y^{1-n} = q(x) \\ y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = q(x)$，然后令$z = y^{1-n}$，可以带入得出：$\frac{1}{1-n} \cdot \frac{dz}{dx} + p(x) z = q(x)$，这样，就化为一阶线性微分方程了。得出通解如下：$z = e^{ -\int{(1-n)p(x)}dx }[\int{(1-n)q(x) e^{\int{(1-n)p(x)}dx}}dx + C] \\ y = \sqrt[1-n]{z} = \sqrt[1-n]{e^{ -\int{(1-n)p(x)}dx }[\int{(1-n)q(x) e^{\int{(1-n)p(x)}dx}}dx + C]}$，后面这一步完全可以自己化了。

5、全微分方程

 如果存在$dF(x,y) = p(x,y)dx + q(x,y)dy$的方程，那么称$p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$为全微分方程，通解为：$F(x,y) = C$。判断是否为全微分的依据是：$\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}$

第二节、二阶微分方程

1、二阶微分方程的两种形式

• 齐次：$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$
• 非齐次：$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$

2、解的叠加定理

 此处以二阶微分方程举例，可以应用于多阶微分方程。

• 如果$y_1(x)、y_2(x)$是齐次的解，那么$Y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$也是齐次的解，即线性组合仍是齐次的解。并且如果$y_1(x)、y_2(x)$线性无关的话，$Y(x)$是齐次的通解。对于n阶，只要解的个数是n个线性无关的，那也成立。
• 如果$y^*$是非齐次特解，$Y(x)$是齐次通解，那么$y(x) = Y(x) + y^*$是非齐次通解
• 如果$y_1^*(x)、y_2^*(x)$分别是$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)\\y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$非齐次特解，那么$y_1^*(x)-y_2^*(x)$是齐次特解，$y_1^*(x)-y_2^*(x)$是$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)+f_2(x)$的特解。

3、二阶微分方程的计算

（1）可降阶

 形如$y^{(n)} = f(x)$的，一步一步降阶即可。

（2）不含y的

 形如$y'' = f(x,y')$的，令$\frac{dy}{dx}= p, \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} \Rightarrow p'= f(x,p)$，即可化成一阶方程，进而计算。

（3）不含x的

 形如$y'' = f(y,y')$的，令$p' = y,y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = p'\cdot p \Rightarrow pp' = f(y,p)$，化成一阶的，进而计算。

（4）二阶常系数齐次微分方程

 注意常系数，齐次两个关键词。

 形如$y'' + py' + qy = 0$，对应的特征方程为$r^2 + pr + q = 0$，现在对特征根进行讨论。

1）两个不相同的实根

即：$r_1 \neq r_2$，那么通解：

$$y = c_1 e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$$

2）两个相同的实根

即：$r = r_1 = r_2$，那么通解：

$$y = e^{rx}(c_1+c_2x)$$

3）无实根

即：$r_{1,2} = \alpha + i\beta$，那么通解为：

$$y = e^{\alpha x}(c_1cos\beta x + c_2sin\beta x)$$

（5）二阶常系数非齐次微分方程

 注意，常系数和非齐次，并且对应的齐次方程的通解用(4)的方法求出。

形如$y'' + py' + qy = f(x)$

1）右边为多项式

若$f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)$，其中，m为多项式的最高次数。令特解$y^*(x) = x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$，其中

$k = \begin{cases} 0, & 当\lambda不是特征根 \\1，&当\lambda是1重特征根 \\ 2，&当\lambda是2重特征根 \end{cases}$

2）右边为三角函数

若$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)cos\beta x + Q_n(x)sin \beta x]$ 令特解为：$y^* = x^k e^{\lambda x} [R_m(x)cos\beta x + G_m(x)sin\beta x]$，其中

$l,m,n是多项式次数，且m = max\{l,n\}\\k = \begin{cases} 0,&\lambda + \beta i不是特征根时 \\ 1, &\lambda + \beta i 时单重特征根时 \end{cases}$

之后有用解叠加定理第二条求出非齐次常系数线性微分方程通解。

第三节、欧拉方程

形如

$$x^ny^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_{n-1}xy^{(1)} + a_ny = f(x)$$

的高阶微分方程，称为欧拉方程（通式：$\sum\limits_{i=0}^{n} a_i x^{n-i}y^{(n-i)} = f(x),\quad a_0 = 1$），解法如下：

引入运算符$D = \frac{d}{dt}，D^2 = \frac{d^2}{dt^2}$

令$x = e^t$

那么有$x^ky^{(k)} = D(D-1)...(D-K+1)y$，将$D$当成一个变量，乘进去再合并同类项。怎么证明不会

然后带入到原方程中，即可变成二阶微分方程

例题如下（2004年1）：

 欧拉方程$x^2\frac{d^2y}{dx^2} + 4x\frac{dy}{dx} + 2y = 0（x > 0）$的通解为?

答：令$x=e^t$，原式化为：$D(D-1)y + 4Dy + 2y = 0$，进一步化解：$D^2y + 3Dy + 2y = 0$，其中$D^2y = \frac{d^2y}{dx^2},\quad Dy = \frac{dy}{dx}$。因此，变成了一个二阶常系数齐次方程，答案是：$y=\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}$。