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遥知蓬山雨途险 却看青鸟意决探

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考研数学之伽马函数

雨探青鸟
2022-11-12 / 0 评论 / 0 点赞 / 229 阅读 / 503 字
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本文最后更新于 2023-04-04,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

背就完事了

Γ(α)={0+xα1exdx20+x2α1ex2dxΓ(12)=π,Γ(1)=1,Γ(n+1)=nΓ(n)\Gamma(\alpha) = \begin{cases}\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx \\ \\ 2\int_0^{+\infty}x^{2\alpha-1}e^{-x^2}dx \end{cases}\\ \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi},\quad \Gamma(1) = 1,\quad \Gamma(n+1) = n\Gamma(n)

推导过程

+12πex22dx=20+12πex22dx=1Γ(12)=20+ex2dx=π0+exdx=1=Γ(1)\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 2\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1\quad \Rightarrow\quad \Gamma(\frac{1}{2}) = 2\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} \\ \int_0^{+\infty} e ^ {-x} dx = 1 = \Gamma(1)

补充一个二维正态分布的函数

f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1σ1)22ρ(xμ1σ1)(yμ2σ2)+(yμ2σ2)2]f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e ^ {-\frac{1}{2(1-\rho ^ 2)} [(\frac{x-\mu_1 }{\sigma_1})^2 - 2\rho(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}) + (\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2]}

  • 联合是正太 推出 边缘是正太
  • 边缘是正太 (独立的话)推出 联合是正太
  • X,Y是正太,线性组合仍然是正太
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